Medan, Selasa, 18 Maret 2025. Metode Elemen Hingga (MEH) merupakan teknik numerik yang digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan rekayasa. Salah satu dasar dalam MEH adalah sistem persamaan linear yang direpresentasikan dalam bentuk matriks. Dalam MEH, solusi terhadap suatu permasalahan bergantung pada sistem persamaan linear yang dihasilkan dari diskritisasi elemen. Bentuk sederhana yang secara umum digunakan dalam analisis MEH ialah persamaan kekakuan yang dituliskan sebagai f = K.d, dimana: f adalah vektor gaya (force vector), K adalah matriks kekakuan (stiffness matrix), dan d adalah vektor perpindahan (displacement vector). Untuk elemen batang sederhana dengan dua node, maka persamaan linearnya diutliskan sebagai berikut:

Kedua persamaan liner tersebut di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan matriks dengan mengelompokkan persamaan tersebut menjadi 3 bagian, yaitu vector gaya, matrik kekakuan, dan vektor perpindahan, sebagai berikut:

Lebih lanjut, transformasi dari persamaan linear berikut ini ke persamaan matriks akan memberikan pemahaman yang lebih baik lagi dengan penerapan langsung pada nilai koefisien dan konstanta persamaan. Ketiga persamaan linear tersebut akan dijadikan sebuah persamaan matriks dengan mengelompokkan setiap komponen persamaan menjadi satu bagian matrik. Angka koefisien akan dikelompokkan menjadi sebuah matriks persegiempat, sedangkan variable yang tidak diketahui dan konstanta disusun masing-masing dalam sebuah matriks kolom.

Bentuk awal dari persamaan linearnya:

Bentuk transformasi ke persamaan matriksnya:

Untuk persamaan linear yang lebih besar lagi, matriks ordo 5 x 5, seperti pada persamaan-persamaan liner berikut ini:

Bentuk transformasi persamaan linear tersebut ke persamaan matriks ialah:

Penerapan sistem persamaan linear dalam MEH sangat penting dalam berbagai bidang rekayasa, termasuk analisis struktur, simulasi perpindahan panas, dan dinamika fluida komputasional (CFD). Dalam analisis struktur, sistem persamaan linear digunakan untuk menentukan distribusi tegangan dan deformasi pada suatu material akibat beban yang bekerja. Persamaan keseimbangan dalam mekanika struktur dirumuskan dalam bentuk matriks kekakuan, di mana gaya eksternal, perpindahan, dan kekakuan material saling berkaitan melalui persamaan [K]{d} = {f}, dengan [K] sebagai matriks kekakuan, {d} sebagai vektor perpindahan nodal, dan {f} sebagai vektor gaya eksternal. Penyelesaian sistem persamaan ini memungkinkan insinyur memahami bagaimana suatu struktur mengalami perubahan bentuk dan tegangan akibat beban yang diberikan, serta membantu dalam desain dan optimasi struktur agar memenuhi batas aman dan fungsionalitas yang diinginkan.
Dalam simulasi perpindahan panas, sistem persamaan linear digunakan untuk memodelkan konduksi, konveksi, dan radiasi panas dalam suatu domain. Persamaan dasar perpindahan panas, seperti persamaan konduksi Fourier, diformulasikan dalam bentuk diskret menggunakan elemen hingga, menghasilkan sistem persamaan linear [Kt]{t} = {Q}, di mana [Kt] adalah matriks konduktivitas termal, {t} adalah vektor suhu di titik-titik nodal, dan {Q} adalah vektor sumber panas. Penyelesaian sistem ini memungkinkan perhitungan distribusi suhu dalam suatu material atau struktur, yang sangat penting dalam desain sistem pendinginan, insulasi termal, serta analisis kegagalan akibat ekspansi termal.
Dalam dinamika fluida komputasional (CFD), sistem persamaan linear digunakan untuk menyelesaikan persamaan Navier-Stokes yang menggambarkan aliran fluida. Diskretisasi persamaan konservasi massa, momentum, dan energi dalam metode elemen hingga menghasilkan sistem persamaan linear dalam bentuk [A]{x} = {B}, di mana [A] merupakan matriks koefisien yang bergantung pada viskositas dan densitas fluida, {X} adalah variabel-variabel aliran seperti tekanan dan kecepatan, serta {B} adalah vektor sumber. Penyelesaian sistem ini memungkinkan analisis pola aliran, distribusi tekanan, dan kecepatan fluida dalam berbagai aplikasi seperti aerodinamika, hidrodinamika, serta rekayasa sistem perpipaan dan pembangkit listrik.